Exercícios função quadrática

1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b

Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a \ a = - 15

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b \ b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.

Agora resolva esta:
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é
igual a:
*a) 2
b) -2
c) 0
d) 3
e) -3


Exercício 2

1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto
(-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25
b) o seu valor mínimo é 1,25
c) o seu valor máximo é 0,25
d) o seu valor mínimo é 12,5
*e) o seu valor máximo é 12,5.

SOLUÇÃO:
Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:
y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função.

Portanto, poderemos escrever:
y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3)

Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)
8 = a(1)(-4) = - 4.a
Daí vem: a = - 2

A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)
y = -2x2 + 6x - 4x + 12
y = -2x2 + 2x + 12

Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.
Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.
Isto já elimina as alternativas B e D.

Vamos então, calcular o valor máximo da função.
D = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100
Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E.

2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
*a) 1/2
b) 2
c) 1
d) 4
e) -1/2

SOLUÇÃO:
Seja x o número procurado.
O quadrado de x é x2 .
O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2.
Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 .

Podemos escrever:
y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.
O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função).

Assim,
xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2
Logo, a alternativa correta é a letra A .

Agora resolva estes similares:

1 - A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser:
a) 16
b) 8
c) -8
*d) -4
e) -16

2 - A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é:
a) 16
b) 8
c) -8
d) -4
*e) -16

Exercícios 3

Exercícios resolvidos e propostos

1 - Se f(x) = 1/[x(x+1)] com x ¹ 0 e x ¹ -1, então o valor de S = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100) é:
a)100
b) 101
c) 100/101
d) 101/100
e) 1

SOLUÇÃO:
Temos:

Portanto,
f(1) = 1/1 - 1/2
f(2) = 1/2 - 1/3
f(3) = 1/3 - 1/4
f(4) = 1/4 - 1/5
f(5) = 1/5 - 1/6
.........................
..........................
...........................
f(99) = 1/99 - 1/100
f(100) = 1/100 - 1/101

Somando membro a membro as igualdades acima (observe que os termos simétricos se anulam entre si), vem:
f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100) = 1 - 1/101 = 100/101, o que nos leva à alternativa C.

2 - UCSal - Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:
a) -5
b) -4
c) 0
*d) 4
e) 5

SOLUÇÃO:
Como f(x) = 2x -3, podemos escrever: f[g(x)] = 2.g(x) - 3 = - 4x + 1
Logo, 2.g(x) = - 4x +4 \ g(x) = -2x + 2
Assim, g(-1) = -2(-1) + 2 = 4.
Logo, a alternativa correta é a letra D.

3 - O conjunto imagem da função y = 1 / (x - 1) é o conjunto:
a) R - { 1 }
b) [0,2]
c) R - {0}
d) [0,2)
e) (-2 ,2]

SOLUÇÃO:
Se y = 1 / (x - 1), então x - 1 = 1 / y.
Como o conjunto imagem é o conjunto dos valores de y, percebemos que y não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero.
Logo, o conjunto imagem é R - {0}, o que nos leva à alternativa C.

4 - Determine o domínio da função y = (x+1) / (x - 2).

SOLUÇÃO:
Como não existe divisão por zero, vem imediatamente que: x - 2 ¹ 0 \ x ¹ 2.
Logo, o domínio da função será D = R - {2}, onde R é o conjunto dos números reais.

Agora resolva estes:

1 - UFBA - Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é igual a:
a) x - 2
b) x - 6
c) x - 6/5
d) 5x - 2
e) 5x + 2

Resp: C

2 - A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas condições, f(3x + 2) é igual a:
a) 2x + 3
b) 3x + 2
c) (2x + 3) / 2
d) (9x + 1) /2
e) (9x - 1) / 3

Resp: D

3 - Qual o domínio da função y = (x - 4)1/4 ?
Resp: D = [4, ¥ ).

4 - Qual o conjunto imagem da função y = 1/x?
Resp: Im = R - {0}.

5 - Qual o domínio da função y = (senx)/x ?
Resp: D = R - {0}.

6 - Sendo f(x) = senx e g(x) = logx, pede-se determinar o valor de g[f(p /2)].
Resp: 0

7 - Elabore o gráfico da função y = [x] , de domínio R, onde [x] significa o maior inteiro contido em x, assim definido:
[x] = maior inteiro que não supera x.

Exemplos:
[2] = 2
[2,01] = 2
[0,833...] = 0
[-3,67...] = -4
[-1,34...] = -2, etc

Sites do Assunto:

Sites do Assunto : http://www.paulomarques.com.br/arq1-17.htm

http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php

http://www.scribd.com/doc/7396494/Lista-de-Problemas-Funcao-Quadratica

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